FRACTALES

La geometría surgió para el hombre como una necesidad, con el objetivo de medir la tierra.
Posteriormente olvidó, como tantas otras ciencias, sus orígenes. Hizo uso desde un principio de la intuición y el razonamiento y progresó durante siglos incursionando otras ciencias.
Investigó además la medida y la forma del Universo, pero siempre pensando en un Universo estable y ordenado, aprehensible mediante la intuición, previsible y racional.
En nuestro siglo la idea del Universo fue cambiando: la Geometría Clásica no es capaz de dar respuesta a un universo en el que tiene cabida el caos, el azar, en el que se combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande: las partículas elementales y el cosmos.
Aparecieron otras Geometrías (u otras ramas de la Geometría), que reconvirtieron a esta ciencia en el estudio de las ciencias de la realidad y en el arte, entre el orden y el caos.

Breve historia

Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1880 por el francés Henri Poincare. Sus ideas fueron extendidas mas tarde fundamentalmente por dos matemáticos también franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Se trabajo mucho en este campo durante varios años, pero el estudio quedo congelado en los años 20.
El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El Dr. Mandelbrot, de la Universidad de Yale, con sus experimentos de computadora, es considerado como el padre de la geometría fractal. En honor a él, uno de los conjuntos que él investiga fue nombrado en su nombre.
Otros matemáticos, como Douady, Hubbard y Sullivan trabajaron también en esta área explorando más las matemáticas que sus aplicaciones.
Desde la década del 70 este campo ha estado en la vanguardia de los matemáticos contemporáneos. Investigadores como el Dr. Robert L. Devaney, de la Universidad de Boston ha estado explorando esta rama de la matemática con la ayuda de las computadoras modernas.

Introducción al concepto de fractal

De seguro que usted no conoce los fractales. La labor, pues, será mostrarle la genialidad de tales cuerpos "especialmente" geométricos. Y vaya que sí lo es. No así, a los matemáticos de hoy en día y a la gente común le llama la atención la peculiar belleza de entes matemáticos de este estilo.
Pero bueno... ¿qué cuernos es un fractal? En pocas palabras, belleza... Claro, se entiende. Esta definición deja mucho que desear, especialmente si usted es algún profesional o simplemente una persona exigente que gusta de buenas definiciones. Entonces, considerando cualquiera de estos dos casos, definiremos un cuerpo fractal como un ente geométrico "distinto". En realidad, como un ente geométrico "infinito". (y si es usted más exigente aún, la definición correcta es: "un cuerpo fractal es aquel que tiene la Dimensión Topológica estrictamente menor que su Dimensión de Haussdorf-Besucovic").
Existen dos características propias a los fractales. Ellas son importantes para comprender su estructura y su concepción. Primero, su Área o Superficie es finita, es decir, tiene límites. Por el contrario y por paradójico que esto resulte, su Perímetro o Longitud es infinita, es decir, no tiene límites. Un fractal puede ser una serie de circunferencias que se coloquen una sobre el radio de la otra como si fuera su diámetro y así infinitamente. El área sería siempre semejante o aproximada a la de la circunferencia mayor, pero su longitud (considerándolas no como figuras independientes, sino como todas una sola), sería infinita... bueno... creo que esto no es muy claro, cierto? Entonces vea usted un fractal:

Este es el CONJUNTO DE MANDELBROT. Su nombre deriva de su descubridor y el además considerado padre de la Geometría Fractal, el matemático polaco BENOIT MANDELBROT. Pero no todos los méritos en el descubrimiento de los Fractales le son debidos a él, sino que también a otro gran matemático, como fue el radicado francés GASTON MAURICE JULIA. Estos dos matemáticos han sido los que más han aportado en el mundo de las investigaciones sobre fractales. Sus historias son muy peculiares y, en cierto modo, ninguno de ellos quiso descubrir los fractales... digámoslo en forma retórica que... los fractales son una hermosa casualidad.
Ahora bien. Introduzcamos un nuevo concepto que no ha de serle ajeno al estudiante de fractales: ITERACIÓN. Una iteración es la repetición de "algo" una cantidad "infinita" de veces. Entonces, los fractales se generan a través de iteraciones de un patrón geométrico establecido como fijo. El mejor y más claro ejemplo que usted puede observar de este tipo de concepto es el siguiente:

En la imagen, la figura representada es conocida como el Copo de Nieve de Koch o la Isla Tríada de Koch y se forma a partir de un triángulo equilátero al cual se dividen sus lados en tres partes iguales, de forma tal que en los tercios medios se coloca otro triángulo semejante al primero. Esta iteración, en un alto grado de complejidad, se asemejará a una circunferencia, ya que los triángulos se irán colocando infinitamente. Esto reafirma el concepto de Area finita y Perímetro infinito. Claro está que los fractales son también números (en efecto, la iteración de un número Complejo simple, por lo que pueden traducirse en operaciones matemáticas)

Iteración

La generación propiamente tal de un fractal se puede hacer de muchas maneras, pero matemáticamente, se define como la repetición constante de un cálculo simple (ITERACIÓN), como habíamos dicho anteriormente.
El Conjunto de Mandelbrot es mucho más complejo que la imagen vista anteriormente. Pero su generación es lo interesante. El Conjunto de Mandelbrot se forma mediante un NUMERO COMPLEJO (a+bi, A y B nros. Reales; i=unidad imaginaria) que se dice "especial". Entonces, tenemos el número complejo Z = a+bi, al cual se lo somete a una "prueba matemática". Para ello tomamos el número Z y lo elevamos al cuadrado, sumándoselo después al mismo Z. Luego, elevamos ese resultado y lo elevamos nuevamente al cuadrado, sumándoselo a Z y así infinitamente (iteración). Representemos esto:

El esquema anterior nos muestra el caso mencionado. Se toma un número complejo y se le somete a un proceso matemático "simple", tal como es elevarlo al cuadrado y sumarlo consigo mismo. Este proceso, iterado, transforma ese número complejo "simple" en uno infinitamente intrincado. Aún así, si usted no comprende estos cálculos, no se preocupe, ya que por su complejidad el Conjunto de Mandelbrot, por ejemplo, ha sido generado a través de computadoras, en este caso de la IBM.

Fractales: computación y aplicaciones

Los fractales, como ya sabemos, son números Complejos infinitamente extensos (por no decir complejos, aunque suene extraño). Entonces... ¿cómo se explica la generación de imágenes tan hermosas como el Conjunto de Mandelbrot? ¿Usted qué cree? (la respuesta se ha dado ya en el término del párrafo anterior).
Las imágenes fractales son generadas utilizando computadores, ya que estos pueden realizar cálculos tan complejos como el estudiado, pero cabe tener en cuenta que lo representado no es propiamente un fractal, ya que por poderosa que sea la máquina, un fractal es infinito y una computadora no puede realizar un cálculo infinitas veces. En el caso del Conjunto de Mandelbrot, este se realiza en un plano bidimensional de números Complejos. Todos los números que al ser iterados se mantienen "relativamente pequeños" se dice que pertenecen al Conjunto de Mandelbrot. Estos números son representados por la computadora con color negro. Los demás puntos, es decir, los que no pertenecen al Conjunto de Mandelbrot, se representan dependiendo de su rapidez de iteración, esto es, el menos rápido se representa con amarillo, anaranjado, etc., y el más rápido, en colores celeste, azul, azul oscuro y así. En este caso, el mejor de los colores es el negro.
En el caso de las aplicaciones de los fractales, se cuenta, dentro del campo computacional, el proceso de TRANSFORMACIÓN FRACTAL, el que se realiza con imágenes que contienen muchos pixels. Cada uno de estos se va "agrandando", por así decirlo, "infinitamente", sin dejar de ser el mismo (en el sentido de patrón geométrico, ya que un pixel es de forma cuadrada), lo que permite que, en términos de memoria, el espacio ocupado sea menor. Además, como podrá ver más adelante, se utilizan para generar efectos en programación y otras cosas tan inusuales (no sé sí este sea el concepto adecuado) como la Música Fractal.
Otra aplicación se da en el campo de la Geología y Topología. Considerando un litoral cualquiera, con todas sus estribaciones, se dice que tiende a una longitud infinita, siendo su área finita (características propias de un fractal). Además, Mandelbrot propuso que galaxias y otros cuerpos semejantes se regían por el mismo concepto.
El genial Mandelbrot, en su libro "La Geometría Fractal de la Naturaleza", señala parafraseando: "¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo frío y árido? Sí, es incapaz de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o árbol, porque ni las nubes son esféricas ni las montañas cónicas o un árbol cilíndrico". Es pues, un hombre sabio, ya que adelante nos muestra como la matemática es parte de nuestras vidas, sino una misma de ellas. La geometría fractal permite explicar diversos fenómenos naturales y su buen entendimiento y comprensión son factores que hoy en día se aprecian mucho en el hombre finisecular.

Fuentes
http://www.geocities.com/capecanaveral/cockpit/5889
http://www.oni.escuelas.edu.ar/olimpi99/fractales

dp